Question

（本小題滿分12分）
如圖6，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=1。
（1）求證：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：A₁C//平面AB₁D；
（3）求二面角B—AB₁—D的正切值。

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）證明見解析。
（3）二面角B—AB₁—D的正切值為

解法一：
證明：（1）因為B₁B⊥平面ABC，AD平面ABC，
所以AD⊥B₁B   （1分）
因為D為正△ABC中BC的中點，
所以AD⊥BD   （2分）
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁  （3分）
又AD平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁   （4分）
（2）連接A₁B，交AB₁于E，連DE   （5分）

因為點E為矩形A₁ABB₁對角線的交點，所以E為AB₁的中點  （6分）
又D為BC的中點，所以DE為△A₁BC的中位線，
所以DE//A₁C   （7分）
又DE平面AB₁D，所以A₁C//平面AB₁D   （8分）
（3）解：過D作DF⊥AB于F，過F作FG⊥AB₁于G，連接DG。
因為平面A₁ABB₁⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A₁ABB₁。
又AB₁平面A₁ABB₁，所以AB₁⊥DF。
又FG⊥AB₁，所以AB₁⊥平面DFG，所以AB₁⊥DG。  （9分）
又AB₁⊥FG，所以∠DGF為二面角B—AB₁—D的平面角。  （10分）
因為AA₁=AB=1，
所以在正△ABC中，
在  （11分）
所以在   （12分）
解法二：
解：建立如圖所示的直角坐標系，依題意有：


（1）證明：由，
得
又BC∩⊥BB₁=B，所以AD⊥平面B₁BCC₁。  （4分）
又AD平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥B₁BCC₁   （5分）
（2）證明：連接A₁B，交AB₁于E，連DE，
因為點E為正方形A₁ABB₁對角線的交點，所以E為AB₁的中點，
即   （6分）

又DE平面AB₁D，所以A₁C//平面AB₁D   （8分）
（3）解：設平面ABB₁的一個法向量為
由   （9分）
設平面AB₁D的一個法向量為
由   （10分）
所以    （11分）
所以，
依圖可得二面角B—AB₁—D的正切值為   （12分）