Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx．（a≠0）
（1）若函數f（x）有三個零點x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，求函數 y=f（x）的單調區間；
（2）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，試問：導函數f′（x）在區間（0，2）內是否有零點，并說明理由．
（3）在（Ⅱ）的條件下，若導函數f′（x）的兩個零點之間的距離不小于

3

，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，及x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，可得x2=0，x1+x3=

9

2

，x1•x3=-12，從而x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，
由韋達定理可用a把b，c表示出來，讓后按a的符號分情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由f′(1)=-

1

2

a可得a，b，c間的關系式，再由3a＞2c＞2b可判斷a，b的符號，根據零點存在條件分情況討論即可；
（3）設m，n是導函數f'（x）=ax²+bx+c的兩個零點，則m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

，|m-n|可用a，b表示出來，根據已知可得不等式得

b

a

的一范圍，
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，由此可得

b

a

的又一范圍，兩者取交集即可得到

b

a

的取值范圍．

解答：解（1）因為f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，
所以x2=0，x1+x3=

9

2

，x1•x3=-12，
因為x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，
所以-

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=-12，即b=-3a，c=-4a，
從而：f(x)=

1

3

ax3-

3

2

ax2-4ax，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令  f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
當a＞0時，y=f（x）的單調遞減區間是（-1，4），單調遞增區間是（-∞，-1），（4，+∞）．
當a＜0時，y=f（x）的單調遞增區間是（-1，4），單調遞減區間是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因為f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，
所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因為3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①當c＞0時，因為f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，
則f'（x）在區間（0，1）內至少有一個零點．
②當c≤0時，因為f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，
則f'（x）在區間（1，2）內至少有一零點．
故導函數f'（x）在區間（0，2）內至少有一個零點．
（3）設m，n是導函數f'（x）=ax²+bx+c的兩個零點，則m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

．
所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，則(

b

a

+2)2+2≥3，即(

b

a

+2)2≥1．
所以

b

a

+2≥1或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1或

b

a

≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-

3

4

a．
因為a＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
綜上所述，

b

a

的取值范圍是[-1，-

3

4

)．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數零點問題，考查學生分析問題解決問題的能力．