Question

如圖，四邊形是矩形，平面，四邊形是梯形,，， 點是的中點，.

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）見解析 （2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面平行關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量平行；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（1）證明：連結，交于點，∴點是的中點.

∵點是的中點，∴是△的中位線. ∴

∵平面，平面，∴平面

（2）四邊形 是梯形，，

又四邊形是矩形，，

又，

又，，

在△中，，

由可求得… 7分

以為原點，以、、分別為、、

軸建立空間直角坐標系，

∴，，，，

∴，，.

設平面的法向量，

∴，.∴

令，則，.∴.

又是平面的法向量，

∴ 如圖所示，二面角為銳角.

∴二面角的余弦值是

考點：（1）證明直線與平面平行；（2）利用空間向量解決二面角問題.