Question

若雙曲線的焦點關于漸近線對稱的點恰在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：不妨設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，其右焦點F（c，0）關于漸近線y=

b

a

x對稱的點在雙曲線上，解方程組可得點的坐標，代入方程結合a²+b²=c²，解出

c

a

即得．

解答：解：不妨設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，其右焦點F（c，0）關于漸近線y=

b

a

x對稱的點在雙曲線上．
過焦點F且垂直漸近線的直線方程為：y-0=-

a

b

（x-c），即y=-

a

b

（x-c），
聯立漸近線方程可得方程組

y= b a x y=- a b (x-c)

，解之可得

x= a2 c y= ab c

，
故對稱中心的點坐標為（

a2

c

，

ab

c

），由中點坐標公式可得對稱點的坐標為（

2a2

c

-c，

2ab

c

），
將其代入雙曲線的方程可得

(2a2-c2)2

a2c2

-

4a2b2

b2c2

=1，結合a²+b²=c²，
化簡可得c²=5a²，故可得e=

c

a

=

5

故選D

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及離心率的求解和對稱問題，屬中檔題．