Question

已知圓的半徑為1，圓心C在直線l₁：y=x上，其坐標為整數，圓C截直線l₂：x-3y+9=0所得的弦長為
（1）求圓C的標準方程；
（2）設動點P在直線l：x-y-2=0上，過點P作圓的兩條切線PA，PB切點分別為A，B，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓心C的坐標為（2a，3a），a∈Z，利用圓C截直線l₂：x-3y+9=0所得的弦長為
，建立方程，可求a=1，從而可求圓C的標準方程；
（2）S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=，求出|PC|的最小值，即可求得四邊形PACB面積的最小值．
解答：解：（1）設圓心C的坐標為（2a，3a），a∈Z，則由題意，圓C截直線l₂：x-3y+9=0所得的弦長為
可知：，
解得a=1．
∴所求圓C的標準方程為：（x-2）²+（y-3）²=1．   （4分）
（2）∵CA⊥PA，CB⊥PB，|PA|=|PB|，|AC|=1，
∴S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=．
當PC⊥l時，|PC|取得最小值，
∴|PC|_min=．
∴|PA|_min=．
即四邊形PACB面積的最小值為． （12分）
點評：本題重點考查圓的標準方程，考查四邊形的面積，解題的關鍵是利用圓的性質，屬于基礎題．