Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sin2A+

3

cos2A=

3

（1）求角A的大小；
（2）若b=2

3

，△ABC的面積為

3

，求

a+b+c

bcosC+ccosB

的值．

Answer 1

分析：（1）由輔助角公式，化簡整理得sin（2A+

π

3

）=

3

2

，結合A是三角形的內角，可算出A=

π

6

；
（2）由面積正弦定理公式，算出c的長．再用余弦定理算出a=2，最后代入

a+b+c

bcosC+ccosB

化簡整理．即可得到所求分式的值．

解答：解：（1）∵sin2A+

3

cos2A=2（sin2Acos

π

3

+cos2Asin

π

3

）=2sin（2A+

π

3

）
∴2sin（2A+

π

3

）=

3

，可得sin（2A+

π

3

）=

3

2

∵

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，
∴2A+

π

3

=

2π

3

，解之得A=

π

6

；
（2）∵b=2

3

，△ABC的面積為

3

，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

，即

1

2

×2

3

c×

1

2

=

3

，解之得c=2
由余弦定理，得a=

b2+c2-2bccosA

=

12+4-2×2 3 ×2× 3 2

=2
由斜三角形的射影定理，可得bcosC+ccosB=a=2
∴

a+b+c

bcosC+ccosB

=

2+2 3 +2

2

=2+

3

．

點評：本題給出三角函數式，求角A的值，并求關于邊、角的一個分式的值，著重考查了三角函數中的恒等變換應用、運用正、余弦定理解三角形等知識，屬于基礎題．