Question

【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①在上為減函數(shù)，上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在處的切線與直線垂直.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，若對，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)條件①②③得到關(guān)于的方程組，從而解得的值，得到答案；（2）根據(jù)得到不等式，參變分離得到，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)得到的最大值，從而得到的范圍.

（1）函數(shù)，

則，

因為在上為減函數(shù)，上是增函數(shù)；

則是的極小值點，

所以，即

因為是偶函數(shù)，所以，

即，

得，

因為在處的切線與直線垂直，

所以在處的切線斜率為，

即，

所以得到，

所以.

（2），若對，使成立

得到對，恒成立，

即，對恒成立，

設(shè)，則，

，

設(shè)，

則，

，所以，

所以在單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，

所以，

所以在恒小于，即在上單調(diào)遞減

所以

所以，

故實數(shù)的取值范圍為