Question

【題目】如圖， 為圓的直徑，點， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；

（Ⅲ）當的長為何值時，二面角的大小為．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）利用面面垂直的性質，可得平面，再利用線面垂直的判定，證明平面，從而利用面面垂直的判定可得平面平面；（2）確定為直線與平面所成的角，過點作，交于，計算，即可求得直線與平面所成角的大小；（3）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得的長．

試題解析：（1）∵平面平面，

平面平面，∴平面，

∵平面，∴，

又∵為圓的直徑，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面

（2）根據（1）的證明，有平面，

∴為在平面內的射影，

因此， 為直線與平面所成的角，

∵，∴四邊形為等腰梯形，過點作，交于，

，則，

在中，根據射影定理，得，

，∴，

∴直線與平面所成角的大小為30°

（3）

設中點為，以為坐標原點， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）．設，則點的坐標為，則，又，∴，

設平面的法向量為，則，即，

令，解得．

∴．

由（1）可知平面，取平面的一個法向量為，

∴，即，解得，

因此，當的長為時，平面與平面所成的銳二面角的大小為60°．．．．．12分