Question

如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（I）求矩形ABCD外接圓的方程；
（Ⅱ）若直線l經過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓有公共點，求直線的傾斜角的范圍．

Answer 1

分析：（I）根據AD⊥AB算出AD的斜率為-3，利用點斜式方程列式，得到AD邊所在直線的方程為3x+y+2=0，將AD、AB方程聯解得到A（0，-2）．求出矩形ABCD的對角線交點M（2，0）即為外接圓圓心，利用圓的標準方程即可得到外接圓的方程為（x-2）²+y²=8；
（II）由直線方程的點斜式，設直線l：y=k（x+2），利用點到直線的距離公式列出關于k的不等式，解之得-1≤k≤1，結合斜率與傾斜角之間的關系即可算出直線的傾斜角的范圍．

解答：解：（I）∵AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD⊥AB，
∴直線AD的斜率為-3．…（2分）
又∵點T（-1，1）在直線AD上，
∴AD邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．
化簡，得3x+y+2=0．…（4分）
由

3x+y+2=0 x-3y-6=0

聯解，得A坐標為（0，-2），…（6分）
∵矩形ABCD兩條對角線的交點為M（2，0）．
∴M（2，0）為矩形ABCD外接圓的圓心．
而|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
∴矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．…（10分）
（II）由直線l經過點N（-2，0），設直線l：y=k（x+2），
∵直線l與矩形ABCD的外接圓有公共點
∴點M（2，0）與直線l的距離小于或等于半徑
即

|4k|

k2+1

≤2

2

，解之得k²≤1，即-1≤k≤1
∴直線的傾斜角的范圍為[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）…（14分）

點評：本題求矩形ABCD的外接圓方程并求直線與圓相交時的傾斜角范圍，著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．