Question

過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q,經過點P和拋物線的對稱軸平行的直線交準線于點M,求證:直線QM必過拋物線的頂點.

Answer 1

證明:以拋物線的對稱軸為x軸,頂點為坐標原點建立直角坐標系,如圖所示.

設拋物線方程為y²=2px(p＞0).

直線PQ方程為x=ky+.兩方程聯立并消去x得y²-2pky-p²=0.

設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),則y₁y₂=-p².

∵MP∥x軸,

∴M點坐標為(-,y₁),

則直線MQ的方程為y-y₁=(x+).

當x=0時,右邊==-y₁.

當y=0時,左邊=-y₁,∴左邊=右邊.

∴(0,0)滿足方程.∴直線MQ必過拋物線的頂點.