Question

10．已知圓C：（x-a）²+（y-a-2）²=9，其中a為實常數．
（1）若直線l：x+y-4=0被圓C截得的弦長為2，求a的值；
（2）設點A（3，0），O為坐標原點，若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離公式，結合直線l：x+y-3=0被圓C截得的弦長為2，利用勾股定理，可求a的值；
（2）求出M在圓心為D（-1，0），半徑為2的圓上，根據點M在圓C上，可得圓C與圓D有公共點，從而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）由圓方程知，圓C的圓心為C（a，a+2），半徑為3．（2分）
設圓心C到直線l的距離為d，因為直線l被圓C截得的弦長為2，則
d²+1=9，即d=2$\sqrt{2}$．（4分）
所以$\frac{|a+（a+2）-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$即|a-1|=2，所以a=-1或a=3．（6分）
（2）設點M（x，y），由|MA|=2|MO|，化簡得x²+y²+2x-3=0．
所以點M在圓D：（x+1）²+y²=4上．其圓心為D（-1，0），半徑為2．（8分）
因為點M在圓C上，則圓C與圓D有公共點，即1≤|CD|≤5．（9分）
所以1≤$\sqrt{（a+1）^{2}+（a+2）^{2}}$≤5，解得-5≤a≤-2或-1≤a≤2．
故a的取值范圍是[-5，-2]∪[-1，2]．（15分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，考查圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．