Question

【題目】如圖1，直角梯形中，，，E、F分別是和上的點，且，，，沿將四邊形折起，如圖2，使與所成的角為60°.

（1）求證：平面；

（2）M為上的點，，若二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由平面圖形，可證得線面平行，從而得面面平行，然后可得證線面平行；

（2）先證得平面平面，然后作于點O，則平面，以O為原點，平行于的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，由法向量夾角的余弦的絕對值等于二面角余弦值，可求得．

（1）證明：在圖1中，，，又，所以是矩形，

所以在圖2中，，又平面，所以平面，

因為，又平面，所以平面，

又因為，所以平面平面，

而平面，所以平面.

（2）解：因為，所以是與所成的角，所以，

∵，，∴平面，故平面平面，作于點O，則平面，，，，

以O為原點，平行于的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，.

，，，，

設平面的法向量為，

則，取，得.

平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

所以，

平方整理得，因為，所以.