Question

【題目】如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F為CE的中點，

（1）求證：AE∥平面BDF；

（2）求證：平面BDF⊥平面ACE；

（3）2AE＝EB，在線段AE上找一點P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值為，求P的位置．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）P在E處．

【解析】

（1）通過證明FG∥AE即可證明；

（2）通過證明BF⊥平面ACE，即可證得面面垂直；

（3）建立空間直角坐標系，利用兩個半平面法向量關系求解.

證明：（1）設AC∩BD＝G，連接FG，易知G是AC的中點，

∵F是EC中點．

∴在△ACE中，FG∥AE，

∵AE平面BFD，FG平面BFD，

∴AE∥平面BFD．

（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，

∴BC⊥平面ABE，又∵AE平面ABE，

∴BC⊥AE，

又∵AE⊥BE，BC∩BE＝B，

∴AE⊥平面BCE，即AE⊥BF，

在△BCE中，BE＝CB，F為CE的中點，

∴BF⊥CE，AE∩CE＝E，

∴BF⊥平面ACE，

又BF平面BDF，

∴平面BDF⊥平面ACE．

（3）如圖建立坐標系，設AE＝1，

則B（2，0，0），D（0，1，2），C（2，0，2），F（1，0，1），

設P（0，a，0），，，

設平面BDF的法向量為，且，

則由⊥得﹣2x1+y1+2z1＝0，

由⊥得﹣x1+z1＝0，

令z1＝1得x1＝1，y1＝0，從而

設平面BDP的法向量為，且，則

由⊥得﹣2x2+y2+2z2＝0，

由⊥得2x2﹣ay2＝0，

令y2＝2得x2＝a，z2＝a﹣1，從而，

，

解得a＝0或a＝1（舍）

即P在E處．