Question

等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,連結、 (如圖2).
（1）求證:平面；
（2）在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)參考解析； （2）

試題分析：(1) 由，等邊三角形的邊長為3.所以可得,所以在三角形ADE翻折過程中始終成立.又由于成直二面角.由平面與平面垂直的性質定理可得平面.
（2）由于平面平面BCED.假設存在點P，過點P作BD的垂線，垂足為H.則為所求的角.假設BP的長為x，根據題意分別求出相應的線段.即可得結論.
(1) 因為等邊△的邊長為3,且,
所以,．
在△中,,
由余弦定理得．
因為,
所以．             （4分）
折疊后有  

因為二面角是直二面角,所以平面平面  
又平面平面,平面,,
所以平面                                         （6分）
（2）由(1)的證明,可知,平面．
以為坐標原點,以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖

設,
則,,  
所以,,  
所以          （8分）
因為平面,
所以平面的一個法向量為  
因為直線與平面所成的角為,
所以  
,                               （10分）
解得  
即,滿足,符合題意  
所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時    （12分）