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【題目】已知函數．

（1）求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）當時，求證：；

（3）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析: （1）先由導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式求切線方程，（2）構造差函數：，再利用導數求其最小值，即得證，（3）先變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求對應函數最值問題：，其中，再利用導數求其最小值，可得實數的取值范圍．

試題解析:（1），，

∴，

又切點坐標為，故所求切線方程為

（2）令，

令，得，

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增

∴，從而.

（3）對任意的恒成立對任意的恒成立

令，

∴

由（2）可知當時，恒成立，

令，得；，得

∴的增區間為，減區間為，

∴

∴實數的取值范圍是.

練習冊系列答案

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　(　　)

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