Question

已知函數f（x）=（a-1）ln（e^x+a²-a-2）（a為常數）是實數集R上的增函數，對任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=0，函數，函數g（x）=ln[f（x）+1]．
（1）求實數a的值；
（2）若對任意的x＞0，g（x）＜px恒成立，求實數p的取值范圍；
（3）求證：當n∈N^*時，g（n）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）由“f（x）對任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0”得f（x）是R上的奇函數求解a，再由“函數f（x）是實數集R上的增函數”驗證．
（2）結合（1）將“任意的x＞0，g（x）＜px恒成立”轉化為：h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px＜0，x＞0恒成立，只要求得h（x）的最大值即可．
（3）觀察其結構，我們可以先探究一下，g（1）＜1，即，ln（1+1）＜1，ln（

1

2

+1）＜

1

2

，依此類推，我們可以有ln（

1

x

+1）＜

1

x

，成立，再用累加法求解．

解答：解：（1）∵f（x）對任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）是R上的奇函數，
∴f（0）=（a-1）ln（1+a²-a-2）=0
即a2-a-2=0或a-1=0
∴a=-1或a=2或a=1，
∵f（x）是實數集R上的增函數，
∴a=2．
（2）由（1）知f（x）=x，函數g（x）=ln[f（x）+1]=ln（x+1），
設h（x）=g（x）-px=ln（x+1）-px（x＞0），
則g（x）＜px恒成立?h（x）＜0恒成立，
又h′（x）=

1

x+1

-p（x＞0）
①若p≥1，則h′（x）=

1

x+1

-p＜ 0，h（x）在（0，+∞）上是減函數，
因此h（x）＜h（0）=0恒成立，
②若p∈（0，1），則令h′（x）=0，解得x=

1-p

p

，
當x∈（0，

1-p

p

）是，h（x）＞0，h（x）單調遞增，不成立
故實數p的取值范圍[1，+∞）
（3）證明：由第（2）小題可知，
當p=1時，ln（x+1）＜x（x＞0）恒成立，
故當x＞0，ln（

1

x

+1）＜

1

x

也恒成立，
∴ln2＜1，ln

3

2

＜

1

2

，ln

4

3

＜

1

3

，，ln

n+1

n

＜

1

n

將各不等式相加得
ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

+ln 

n+1

n

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

故g（n）＜1+

1

2

+ 

1

3

++

1

n

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性，同時還考查了驗證的思想，轉化的思想以及知識方法遷移的能力．