Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為

π

3

，且恰好經過橢圓的右頂點，求e的大小；
（2）在（1）的條件下，設橢圓的上頂點為A，左焦點為F，過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點，過A、B、F三點的圓恰好與直線l：x+

3

y+3=0相切，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）設出直線l與圓O的切點為C，橢圓的右頂點為D，根據切線性質得到三角形OCD為直角三角形，且得到OC和OD及角ODC的度數，利用勾股定理及橢圓的簡單性質a²=b²+c²表示出CD，根據余弦函數的定義以及離心率公式即可求出e的值；
（2）根據（1）求出的離心率及a²=b²+c²設出a和b，由字母m寫出橢圓的標準方程，從而表示出點A的坐標，得到AF的長，求出直線AF的斜率，進而得到∠AFB等于60°，根據直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半由AF的長表示出FB的長，從而得到點B的坐標，根據中點坐標公式求出FB中點G的坐標，然后根據直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點，得到外接圓的半徑，由直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式表示出點G到直線l的距離d，讓d等于表示出的半徑，列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，從而確定出橢圓的方程．

解答：解：（1）如圖，設直線l與圓O相切于C點，橢圓的右頂點為D，則由題意知△OCD為直角三角形，
且OC=b，OD=a，∠ODC=

π

3

，
∴CD=

OD2-OC2

=

a2-b2

=c（c為橢圓的半焦距），
∴橢圓的離心率e=

c

a

=cos

π

3

=

1

2

．
（2）由（1）知，

c

a

=

1

2

，
∴設a=2m（m＞0），則b=

3

m，
∴橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
∴A（0，

3

m），
∴AF=2m，k_AF=

3

，
∴∠AFB=60°，
在Rt△AFB中，有FB=4m，
∴B（3m，0），設FB的中點為G，則G（m，0），
∵△AFB為直角三角形，
∴過A、B、F三點的圓的圓心為斜邊FB的中點G，且半徑為2m，
∵圓G與直線l：x+

3

y+3=0相切，
∴

|m+3|

1+3

=2m，
∵m是大于0的常數，
∴m=1，故所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與圓的位置關系及直角三角形的性質等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．根據第一問的結論設出橢圓的方程是解本題的關鍵，求解方法是待定系數法．