Question

已知函數f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若當x∈[-1，1]時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是（　　）

• A、-1＜b＜0
• B、b＞2
• C、b＜-1或b＞2
• D、不能確定

Answer 1

分析：先根據條件“對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立”得到對稱軸，求出a，再研究函數f（x）在[-1，1]上的單調性，求出函數的最小值，使最小值大于零即可．

解答：解：∵對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立
∴函數f（x）的對稱軸為x=1=

a

2

，解得a=2
∵函數f（x）的對稱軸為x=1，開口向下
∴函數f（x）在[-1，1]上是單調遞增函數，
而f（x）＞0恒成立，f（x）min=f（-1）=b²-b-2＞0
解得b＜-1或b＞2，
故選C

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，二次函數在給定區間上恒成立問題必須從開口方向，對稱軸，判別式及端點的函數值符號4個角度進行考慮．