Question

設冪函數f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的圖象過點（

2

，2）．
（1）求a，k的值；
（2）若函數h(x)=-f(x)+2b

f(x)

+1-b在[0，1]上的最大值為2，求實數b的值．

Answer 1

分析：（1）由冪函數的定義知a-1=1，由f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的圖象過點（

2

，2），知(

2

)k=2，由此能求出a，k．
（2）由（1）知f（x）=x²，由h(x)=-f(x)+2b

f(x)

+1-b，知h（x）=-x²+2bx+1-b=-（x-b）²+b²-b+1，x∈[0，1]，再由分類討論思想能求出實數b的值．

解答：解：（1）∵冪函數f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的圖象過點（

2

，2），
∴a-1=1，a=2．
(

2

)k=2，∴k=2．
（2）由（1）知f（x）=x²，
∵h(x)=-f(x)+2b

f(x)

+1-b，
∴h（x）=-x²+2bx+1-b=-（x-b）²+b²-b+1，x∈[0，1]，
當b≥1時，h_max=h（1）=b=2，
當0＜b＜1時，h_max=h（b）=b²-b+1=2，
∴b=

1± 5

2

（舍）．
當b≤0時，
h_max=h（0）=1-b=2，
∴b=-1．
綜上：b=2或b=-1．

點評：本題考查冪函數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意配方法和分類討論思想的靈活運用．