Question

已知△ABC的面積為S，三邊長分別為a，b，c，則△ABC的內切圓的半徑等于

 

．

Answer 1

分析：設△ABC內切圓的圓心為I，內切圓半徑為r，則I與AB、BC、CA分別構成一個高等于r的三角形，這三個三角形的面積之和等于△ABC的面積S，由此利用三角形面積公式列式解出用a、b、c、S表示r的式子，可得答案．

解答：解：設內切圓的圓心為I，內切圓與AB、BC、CA的切點分別為F、D、E，連結AI、BI、CI、DI、EI、FI．
則ID、IE、IF分別是△IBC、△ICA、△IAB的高，
且ID=IE=IF=r（r為內切圓半徑）．
∴S_△IBC=

1

2

BC•ID=

1

2

ar，S_△ICA=

1

2

CA•IE=

1

2

br，S_△IAB=

1

2

AB•IF=

1

2

cr．
∵S_△IBC+S_△ICA+S_△IAB=S_△ABC=S，
∴

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=S，即

1

2

（a+b+c）r=S，
解得r=

2S

a+b+c

．
即△ABC的內切圓的半徑等于

2S

a+b+c

．
故答案為：

2S

a+b+c

點評：本題已知三角形的三條邊長與面積，求三角形的內切圓半徑大�。�著重考查了三角形內切圓的性質、三角形面積公式等知識，考查了等積轉換的數學思想，屬于中檔題．