Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₁=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

log 1 2 an

，cn=

bnbn+1

n+1 + n

，記Tn=c1+c2+…+cn，證明：Tn＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知，令n=1時(shí)，可求a₁，n≥2時(shí)，利用a_n=s_n-s_n-1可得an=

1

2

an-1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）由bn=

1

log 1 2 an

=

1

n

，代人cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和即可證明

解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1-a₁，
∴a₁=

1

2

當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=1-a_n，S_n-1=1-a_n-1，
兩式相減可得，s_n-s_n-1=a_n-1-a_n
∴an=

1

2

an-1
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴an=

1

2n

證明：（2）∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 1 2n

=

1

n

∴cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n=s_n-s_n-1，轉(zhuǎn)化數(shù)列的和與項(xiàng)之間的關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式，數(shù)列的裂、項(xiàng)求和方法的應(yīng)用是證明（2）的關(guān)鍵