Question

已知f（x）=（

1

9

）^x-2a（

1

3

）^x+3．x∈[-1，1]．
（1）若f（x）的最小值記h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在實數m，n同時滿足以下條件：①log₃m＞log₃n＞1；②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令t=(

1

3

)x，利用換元法，可將已知函數化為一個二次函數，根據二次函數在定區間上的最值問題，即可得到h（a）的解析式．
（2）由（1）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上為減函數，進而根據h（a）的定義域為[n，m]時值域為[n²，m²]構造關于m，n的不等式組，如果不等式組有解，則存在滿足條件的m，n的值；若無解，則不存在滿足條件的m，n的值．

解答： 解：（1）令t=(

1

3

)x，∵x∈[-1，1]．∴t∈[

1

3

，3]，
則h（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，對稱軸t=a．
討論 ①當a＜

1

3

時，h（a）=g（t）_min=g（

1

3

）=-

2a

3

+

28

9

，
②當

1

3

≤a≤3時，h（a）=g（t）_min=g（a）=3-a²，
③當a＞3時，h（a）=g（t）_min=g（3）=12-6a，
∴h(a)=

- 2a 3 + 28 9 ，a＜ 1 3 -a2+3， 1 3 ≤a≤3 -6a+12，a＞3

（2）因為h（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函數，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]，
∵h（a）在[n，m]上的值域為[n²，m²]，
∴h（m）=n²  h（n）=m²
即：12-6m=n²  12-6n=m²，
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n），
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時有m+n＞6，矛盾．
故滿足條件的實數m，n不存在

點評：本題主要考查函數解析式的求解，利用換元法是解決本題的關鍵．要求熟練掌握二次函數的圖象和性質