Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos$\frac{A+C}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）若a=3，b=$\sqrt{7}$，求c的值；
（2）若f（A）=sin$\frac{A}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$）+$\frac{1}{2}$，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形內角和定理表示出$\frac{A+C}{2}$，利用誘導公式化簡求出B的度數，再利用余弦定理求出c的值即可；
（2）f（A）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的三角函數，由A的范圍求出f（A）的范圍即可．

解答 解：（1）在△ABC中，A+C=π-B，
∴cos$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{π-B}{2}$=sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{B}{2}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，得c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2；
（2）f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1-cosA}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=sin（A+$\frac{π}{6}$），
由（1）A+C=π-B=$\frac{2π}{3}$，得到A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
則f（A）的范圍是（$\frac{1}{2}$，1]．

點評 此題考查了余弦定理，以及三角函數中的恒等變換應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．