Question

已知a＞0，p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，q：實數x滿足不等式lg（x-2）＜0的解集為R．
（Ⅰ）若a=1p且q為真命題時，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a=1代入x²-4ax+3a²＜0求出p，解出q，p且q為真命題可求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）p是q的必要不充分條件，轉化為，然后求實數a的取值范圍．
解答：解：由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，（2分）
當a=1時，1＜x＜3，即p為真時，實數x的取值范圍是1＜x＜3．（4分）
∵lg（x-2）＜0，∴2＜x＜3，
q為真時，實數x的取值范圍是.2＜x＜3（6分）
若p且q為真，所以實數x的取值范圍是2＜x＜3．（8分）
（Ⅱ）因為p是q的必要不充分條件，
所以有（10分）
所以實數a的取值范圍是1≤a≤2．（14分）
注：若無對區間端點的說明，扣（2分）
點評：本題考查一元二次不等式的解法，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查計算能力，轉化思想，是中檔題．