Question

已知a＞0，p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，q：實數x滿足不等式lg（x-2）＜0．
（1）若a=1，p且q為真命題時，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先化簡兩個命題，
（1）p且q為真命題，求出兩個命題同時成立的條件即可．
（2）p是q的必要不充分條件，即“2＜x＜3”時，“a＜x＜3a”成立，故可得

a≤2 3a≥3

，解之即得實數a的取值范圍

解答：解：由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
∵lg（x-2）＜0，∴2＜x＜3，
（1）當a=1時，1＜x＜3，即P為真時，實數x的取值范圍是1＜x＜3．
q為真時，實數x的取值范圍是.2＜x＜3
若p且q為真，所以實數x的取值范圍是2＜x＜3．
（2）因為p是q的必要不充分條件，
所以有

a≤2 3a≥3

所以實數a的取值范圍是1≤a≤2．

點評：本題考查命題的真假判斷與充分條件必要條件，求解本題的關鍵是正確求解兩個不等式以及對p且q為真命題時與p是q的必要不充分條件時行正確轉化，對問題的等價轉化是把問題化繁為簡的一個重要步驟．