Question

已知曲線y=2x-x²上有兩點A（2，0），B（1，1），求：
（1）割線AB的斜率k_AB；
（2）點A處的切線的方程；
（3）過點A的切線斜率k_AT．

Answer 1

分析：（1）由曲線y=2x-x²上有兩點A（2，0），B（1，1），能求出割線AB的斜率k_AB．
（2）由y=2x-x²，A（2，0），利用導數的幾何意義能求出點A處的切線的方程．
（3）由y=2x-x²，A（2，0），利用導數的幾何意義能求出過點A的切線斜率k_AT．

解答：解：（1）∵曲線y=2x-x²上有兩點A（2，0），B（1，1），
∴割線AB的斜率k_AB=

0-1

2-1

=-1．
（2）∵y=2x-x²，∴y′=2-2x，
∵y′|_x=2=2-2×2=-2，
∴點A處的切線的方程為：y=-2（x-2），即2x+y-4=0．
（3）∵y=2x-x²，∴y′=2-2x，
∴曲線y=2x-x²在（x0，2x0-x02）處的切線方程為：
y-2x0+x02=(2-2x0)(x-x0)，
∵切線方程為點A（2，0），
∴-2x0+x02=(2-2x0)(2-x0)，
解得x₀=2，
∴過點A的切線斜率k_AT=2-2x₀=2-4=-2．

點評：本題考查割線斜率的求法、切線方程的求法和切線斜率的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的幾何意義的合理運用．