Question

函數，其圖象在處的切線方程為．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）若函數的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題意得，且，

∴即解得，，

∴．……………………………………………………………4分

（Ⅱ）由，可得，

，

則由題意可得有三個不相等的實根，

即的圖象與軸有三個不同的交點，

，則的變化情況如下表．

				4
	＋	0	－	0	＋
	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數的極大值為，極小值為．……………………6分

的圖象與的圖象有三個不同交點，則有：

解得．……………………………………………………8分

（Ⅲ）存在點P滿足條件．……………………………………………………………9分

∵，∴，由，得，．當時，；當時，；當時，．可知極值點為，，線段AB中點在曲線上，且該曲線關于點成中心對稱．證明如下：∵，∴

，∴．

上式表明，若點為曲線上任一點，其關于的對稱點也在曲線上，曲線關于點對稱．故存在點，使得過該點的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，這兩個封閉圖形的面積相等．…………14分

【解析】略