Question

(1)設圓錐的母線長為1,試問圓錐的底面半徑為多少時,圓錐的體積最大?

(2)圓錐內有一半球,球面與圓錐側面相切,半球的底面在圓錐的底面上,已知半球半徑為R,圓錐的母線與底面所成的角為θ,求當圓錐的體積V_圓錐=f(θ)最小時,圓錐的高h的值.

圖1-1-4

Answer 1

解析：(1)設母線與底面所成的角為θ,則底面半徑為cosθ,高h=sinθ.

∴圓錐的體積V=πcos²θsinθ

=cos²θsinθ.

記μ=cos²θsinθ,則μ²=cos⁴θsin²θ

=［cos²θ·cos²θ·(2sin²θ)］

≤()³

=,

∴μ≤.(當且僅當cos²θ=2sin²θ時,取“=”)

∴V≤π,即V的最大值為π,當V最大時,cos²θ=2sin²θ.

∴cosθ=,取圓錐的底面半徑為.

(2)如圖1-1-5是圓錐及其內切半球的軸截面,則圓錐的底面半徑為R=,圓錐的高h=.

圖1-1-5

∴f(θ)=πR²h=πr³·.

由(1)的結論,可知當cosθ=時,sin²θcosθ取得最大值,從而f(θ)取得最小值,

即當h==r時,f(θ)取得最小值.