Question

已知復數z滿足z+

7

z

∈R，又|z-1|+|z-3|=4，求復數z．

Answer 1

分析：因為z+

7

z

∈R，所以

.

z+ 7 z

=z+

7

z

，得到

.

z

+

7

. z

=z+

7

z

，進一步化得：(z-

.

z

)(1-

7

z . z

)=0，從而z∈R（z≠0）或|z|²=7．下面進行分類求解：（1）當z∈R（z≠0）時；（2）當|z|²=7時，分別求得復數z即可．

解答：解：因為z+

7

z

∈R，所以

.

z+ 7 z

=z+

7

z

，則

.

z

+

7

. z

=z+

7

z

，
所以z-

.

z

+

7

z

-

7

. z

=0，即(z-

.

z

)(1-

7

z . z

)=0，
所以z-

.

z

=0或者z

.

z

=7，即z∈R（z≠0）或|z|²=7．
（1）當z∈R（z≠0）時，|z-1|+|z-3|=4，所以z=4或者z=0（舍去）；
（2）當|z|²=7時，設z=x+yi（x，y∈R），則x²+y²=7…①，
又|z-1|+|z-3|=4，由題意可知

(x-2)2

4

+

y2

3

=1…②，
根據①②，可得x=2，  y=±

3

，所以z=2±

3

i；
綜上所述，z=2±

3

i或者z=4．

點評：本小題主要考查復數的基本概念、復數代數形式的乘除運算、復數求模等基礎知識，考查運算求解能力，考查與轉化思想．屬于基礎題．