Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域為[-2，t]（t＞-2），設f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數；
（Ⅱ）求證：n＞m；
（Ⅲ）求證：對于任意的t＞-2，總存x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并確定這樣的x₀的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調區間的關系確定t的取值范圍，
（Ⅱ）運用函數的極小值進行證明，
（Ⅲ）首先對關系式進行化簡，然后利用根與系數的關系進行判定．

解答：（Ⅰ）解：因為f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴函數f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
∵函數f（x）在[-2，t]上為單調函數，
∴-2＜t≤0，
（Ⅱ）證：因為函數f（x）在（-∞，0）∪（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=13e^-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），
即m＜n，
（Ⅲ）證：因為

f′(x0)

ex0

=x

2 0

-x0，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
從而問題轉化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并討論解的個數，
因為g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當t=1時，g（x）=x²-x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當t=4時，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，
當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意．

點評：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數單調性的方法及推理和運算能力．