Question

（2011•深圳二模）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分別是

3

+

2

，

3

-

2

的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，則△ABC的面積等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  4

• C．

  3

  2

  或

  3

  4

• D．

  3

  2

  或

  3

Answer 1

分析：由題意，根據(jù)等差數(shù)列及等邊數(shù)列的性質(zhì)分別求出AB與BC的值，再由A的度數(shù)，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，根據(jù)A和C的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，根據(jù)B的度數(shù)判斷出三角形的形狀為直角三角形或等腰三角形，分別求出三角形的面積即可．

解答：解：∵AB，BC分別是

3

+

2

，

3

-

2

的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，
∴AB=

3

，BC=1，又A=30°，
根據(jù)正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

得：sinC=

3

2

，
∵C為三角形的內(nèi)角，∴C=60°或120°，
當(dāng)C=60°時(shí)，由A=30°，得到B=90°，即三角形為直角三角形，

則△ABC的面積為

1

2

×

3

×1=

3

2

；
當(dāng)C=120°時(shí)，由A=30°，得到B=30°，即三角形為等腰三角形，

過C作出AB邊上的高CD，交AB于點(diǎn)D，
在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=

1

2

，
則△ABC的面積為

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，
綜上，△ABC的面積為

3

2

或

3

4

．
故選C

點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，利用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，由C的度數(shù)有兩解，得到三角形的形狀有兩種，故求出的三角形面積有兩解，不要漏解．