Question

在數列{2ⁿ-1}的前2011項中任意選取若干項相乘（當只取到一項時，乘積就為所選項本身），記所有這樣的乘積和為S，則log₂（S+1）的值為（　　）

• A、1005×2011
• B、1006×2011
• C、2010×2011
• D、2011×2011

Answer 1

分析：根據假設數列{2ⁿ-1}的前m項中任意選取若干項相乘，所有這樣的乘積和為Sm，根據所給的條件列出s_m+1的表示式，取對數得到結果．

解答：解：假設數列{2ⁿ-1}的前m項中任意選取若干項相乘，所有這樣的乘積和為Sm
則S_（m+1）=S_m+（2 ^m+1-1）Sm+2 ^m+1-1
∴S_m+1+1=2^m+1 （S_m+1）
S₁=1
S ₁+1=2
S_m+1=2¹ 2²…2^m=2

m(m+1)

2

S+1=S₂₀₁₁+1=2

2011×2012

2

log ₂（S+1）=

2011×2012

2

=1006×2011
故選B．

點評：本題考查數列與函數的綜合，本題解題的關鍵是正確理解題目中所給的條件，寫出要求的對數的真數表示式．