Question

在數列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求證：數列{b_n} 是等差數列，并求數列{a_n} 的通項公式a_n；
（Ⅱ）設c_n=

2

n+1

a_n，數列{C_nC_n+1} 的前n項和為T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜

2

m

對于n∈N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證數列{b_n}是等差數列，只需證明b_n+1-b_n=2；
（2）由a_n=

n+1

2n

，可得c_n=

2

n+1

a_n=

2

n+1

•

n+1

2n

=

1

n

，從而利用裂項法求前n項和為T_n，進而利用最值思想解決恒成立問題．

解答：（1）證明：∵a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，
∴b_n+1-b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2（n∈N^*）
∴數列{b_n}是等差數列，
∵a₁=1，∴b₁=

2

2a1-1

=2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
由b_n=

2

2an-1

，得2a_n-1=

2

bn

=

1

n

，（n∈N^*）
∴a_n=

n+1

2n

．
（2）∵c_n=

2

n+1

a_n=

2

n+1

•

n+1

2n

=

1

n

，
∴C_nC_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1，
∵T_n=1-

1

n+1

＜

2

m

對于n∈N⁺恒成立，
∴

2

m

≥1，∴m≤2，
所以m的最大值為2．

點評：本題主要考查等差數列的定義及通項公式的求解，考查裂項法求和及恒成立問題的處理 方法，綜合性強，難度大．