Question

（2012•惠州模擬）設S_n為數列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為正常數）．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）數列{b_n}滿足b₁=2a₁，bn=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列{

2n+1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知求出S_n+1=（m+1）-ma_n+1，與S_n=（m+1）-ma_n相減整理后可得

an+1

an

=

m

m+1

為定值，進而根據等比數列定義可得結論；
（2）由已知求出b₁，再由bn=

bn-1

1+bn-1

分離常數后構造新數列{

1

bn

}，可得數列{

1

bn

}是一個以

1

2

為首項，以1為公式差的等差數列，進而求出數列{b_n}的通項公式；
（3）根據（2）的結論，利用錯位相減法，可得數列{

2n+1

bn

}的前n項和T_n．

解答：證明：（1）∵S_n=（m+1）-ma_n…①
∴S_n+1=（m+1）-ma_n+1，…②
②-①得
a_n+1=-ma_n+1+ma_n，即（m+1）a_n+1=ma_n，
即

an+1

an

=

m

m+1

∴數列{a_n}是等比數列；
解：（2）∵n≥2，n∈N^*時，bn=

bn-1

1+bn-1

，
∴b_n•b_n-1=b_n-1•b_n
∴

1

bn

-

1

bn-1

=1
又∵n=1時，S₁=a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，b₁=2a₁=2，

1

b1

=

1

2

∴數列{

1

bn

}是一個以

1

2

為首項，以1為公式差的等差數列
∴

1

bn

=n-

1

2

∴b_n=

2

2n-1

（3）∵

2n+1

bn

=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=1•2¹+3•2²+5•2³…+（2n-1）2ⁿ…①
2T_n=1•2²+3•2³…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：
T_n=-2-2（2²+2³…+2ⁿ）+（2n-1）2ⁿ⁺¹
=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹

點評：本題是數列問題比較經典的考題，是高考試卷考查數列的常見題型，首先要根據定義法，迭代法、構造數列法等求出數列的通項公式，再利用裂項法，錯位相減法等求數列的前n項和．