Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP⊥OQ．試證明
（1）

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

-

1

b2

；
（2）|OP|²+|OQ|²的最小值為

4a2b2

b2-a2

；
（3）S_△OPQ的最小值是

a2b2

b2-a2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線OP方程為y=kx（k≠0），將其與雙曲線方程聯(lián)解得到用k、a、b表示x²、y²的式子，從而得出|OP|²=x²+y²=

a2b2(1+k2)

b2-a2k2

．同理算出|OQ|²=

a2b2(1+k2)

k2b2-a2

，由此進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

-

1

b2

成立；
（2）由b＞a＞0可得

1

a2

-

1

b2

為正數(shù)，利用基本不等式與（1）中證出的等式加以推理證明，可得當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|時(shí)，|OP|²+|OQ|²的最小值為

4a2b2

b2-a2

；
（3）根據(jù)OP⊥OQ利用三角形面積公式，可得S_△OPQ=

1

2

|OP|•|OQ|，再由（1）中證出的等式結(jié)合基本不等式加以證明，可得當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|時(shí)S_△OPQ的最小值是

a2b2

b2-a2

．

解答：解：（1）設(shè)直線OP的方程為y=kx，（k≠0）
由

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

消去y，得b²x²-a²k²x²=a²b²，
解之得x²=

a2b2

b2-a2k2

，從而得出y²=k²x²=

a2b2k2

b2-a2k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

a2b2

b2-a2k2

+

a2b2k2

b2-a2k2

=

a2b2(1+k2)

b2-a2k2

．
由直線OP與OQ垂直，設(shè)OQ的方程為y=-

1

k

x，用類似于求|OP|²的方法，
可得|OQ|²=

a2b2[1+(- 1 k )2]

b2-a2(- 1 k )2

=

a2b2(1+k2)

k2b2-a2

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

b2-k2a2

a2b2(1+k2)

+

k2b2-a2

a2b2(1+k2)

=

b2(1+k2)-a2(1+k2)

a2b2(1+k2)

=

1

a2

-

1

b2

，
即等式

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

-

1

b2

成立；
（2）∵（|OP|²+|OQ|²）（

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

）=2+

|OQ|2

|OP|2

+

|OP|2

|OQ|2

≥2+2

|OQ|2 |OP|2 • |OP|2 |OQ|2

=4，
∴（

1

a2

-

1

b2

）（|OP|²+|OQ|²）≥4…①，
∵b＞a＞0，∴

1

a

＞

1

b

＞0，可得

1

a2

-

1

b2

為正數(shù)．
在不等式①的兩邊都除以

1

a2

-

1

b2

，得|OP|²+|OQ|²≥

4

1 a2 - 1 b2

=

4a2b2

b2-a2

，
因此當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|時(shí)，|OP|²+|OQ|²的最小值為

4a2b2

b2-a2

；
（3）∵OP⊥OQ，∴△OPQ的面積S_△OPQ=

1

2

|OP|•|OQ|，
由（1）得

1

a2

-

1

b2

=

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

≥2

1 |OP|2 • 1 |OQ|2

=

2

|OP|•|OQ|

=

1

S△OPQ

，
∴S_△OPQ≥

1

1 a2 - 1 b2

=

a2b2

b2-a2

．
即當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|時(shí)，△OPQ的面積S_△OPQ的最小值為

a2b2

b2-a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出由原點(diǎn)O出發(fā)的兩條射線OP、OQ互相垂直，且與雙曲線交于點(diǎn)P、Q，求|OP|²+|OQ|²的最小值并求△OPQ的面積S_△OPQ的最小值．著重考查了三角形的面積公式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．