Question

已知函數f（x）=

3

（sin²x-cos²x）+2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設x∈[-

π

3

，

π

3

]，求f（x）的值域和單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數解析式為正弦型函數的形式，進而結合ω=2，可得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-

π

3

，

π

3

]時，-π≤2x-

π

3

≤

π

3

，結合正弦函數的圖象和性質可得f（x）的值域，由y=sin(2x-

π

3

)遞增時，-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

3

，可得f（x）的單調遞增區間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=-

3

(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)…（3分），
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期為π．               …（5分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

3

]，
∴-π≤2x-

π

3

≤

π

3

，
∴-1≤sin(2x-

π

3

)≤

3

2

．
∴f（x）的值域為[-2， 

3

]．       　                 　 …（8分）
當y=sin(2x-

π

3

)遞增時，
-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

3

，
即-

π

12

≤x≤

π

3

．
故f（x）的遞增區間為[-

π

12

，

π

3

]．           　        …（12分）

點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換，三角函數的周期性及單調性，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．