Question

已知向量

a

=(1，2)，

b

=(-2，m)，

x

=

a

+(t-1)

b

，

y

=-k

a

+t

b

，m∈R，t為正實數．
（1）若

a

∥

b

，求m的值；
（2）若

a

⊥

b

，求m的值；
（3）當m=1時，若

x

⊥

y

，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

，利用兩個向量平行的性質可得 1×m-2×（-2）=0，由此解得m的值．
（2）由

a

⊥

b

，利用兩個向量垂直的性質可得1×（-2）+2m=0，由此解得 m的值．
（3）當m=1時，求得

a

、

b

的坐標，計算

a

•

b

以及

a

2、

b

2 的值，由 

x

•

y

=0，化簡可得-5k+5t（t-1）+0=0，即 k=t（t-1），再利用二次函數的性質求得k
的最小值．

解答：解：（1）若

a

∥

b

，則1×m-2×（-2）=0，解得m=-4．
（2）若

a

⊥

b

，則1×（-2）+2m=0，解得 m=1．
（3）當m=1時，

a

=（1，2），

b

=（-2，1），∴

a

•

b

=-2+2=0，

a

2=5，

b

2=5．
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，∴[

a

+(t-1)

b

]•[-k

a

+t

b

]=-k

a

2+t（t-1）

b

2+（k+t-kt）

a

•

b

=0，
即-5k+5t（t-1）+0=0，即 k=t（t-1）．
由于t＞0，故當t=

1

2

時，k取得最小值為-

1

4

．

點評：本題主要考查兩個向量共線、垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題．