Question

【題目】某市旅游局為盡快恢復受疫情影響的旅游業，準備在本市的景區推出旅游一卡通(年卡).為了更科學的制定一卡通的有關條例，市旅游局隨機調查了2019年到本市景區旅游的1000個游客的年旅游消費支出(單位：百元)，并制成如下頻率分布直方圖：

由頻率分布直方圖，可近似地認為到本市景區旅游的游客，其旅游消費支出服從正態分布，其中近似為樣本平均數(同一組數據用該組區間的中點值作代表).

（1） 若2019年到本市景區旅游游客為500萬人，試估計2019年有多少游客在本市的年旅游消費支出不低于1820元；

（2） 現依次抽取個游客，假設每個游客的旅游消費支出相互獨立，記事件表示“連續3人的旅游消費支出超出”.若表示的概率，為常數)，且.

（ⅰ）求，及，；

（ⅱ）判斷并證明數列從第三項起的單調性，試用概率統計知識解釋其實際意義.

參考數據：，，

Answer 1

【答案】（1）萬.（2）（ⅰ），，，.（ⅱ）數列從第三項起單調遞減，證明見解析，用概率統計知識解釋其實際意義見解析

【解析】

（1）由直方圖求得的平均數，結合正態分布的概率計算，即可容易求得旅游費用支出不低于元的概率，再乘以即可；

（2）（ⅰ）根據題意，即可容易求得，再列出方程，即可求得；

（ⅱ）根據遞推公式計算，即可判斷數列的單調性；再結合實際問題，進行解釋.

（1）直方圖可得

∵，，

∴旅游費用支出不低于元的概率為

，

∴，

估計年有萬的游客在本市的年旅游費用支出不低于元.

（2）（ⅰ），

，

所以

即

解得

（ⅱ）數列從第三項起單調遞減

，

故

又，所以，

即從第三項起數列單調遞減.

由此，可知隨著抽查人數的增加，事件“不連續3人的旅游費用支出超出”

的可能性會越來越小. （即最終會出現連續3人的旅游費用支出超出這一事件)