Question

橢圓的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上一點，且滿足．
（1）求離心率e的取值范圍；
（2）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為，求此時橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）設點M的坐標為（x，y），則，．
由，得x²-c²+y²=0，即x²-c²=-y²．①
又由點M在橢圓上，得y²=b²，
代入①，得x²-c²=，即．
∵0≤x²≤a²，∴0≤a²≤a²，即0≤≤1，0≤≤1，
解得≤e＜1．
又∵0＜e＜1，
∵≤e＜1．              
（2）當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為．
設點H（x，y）是橢圓上的一點，則
|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18（-b≤y≤b）．
若0＜b＜3，則0＞-b＞-3，當y=-b時，|HN|²有最大值b²+6b+9．
由題意知：b²+6b+9=50，b=或b=-，這與0＜b＜3矛盾．
若b≥3，則-b≤-3，當y=-3時，|HN|²有最大值2b²+18．
由題意知：2b²+18=50，b²=16，
∴所求橢圓方程為．
分析：（1）由題意知，設M的坐標，由和橢圓的方程，解出M的橫坐標的平方，再利用M的橫坐標的平方大于或等于0，且小于或等于a²；，求出離心率的平方的范圍，進而得到離心率的范圍．
（2）當離心率e取時，設橢圓的方程（含參數b），設H（x，y）為橢圓上一點，化簡|HN|² ，利用其最大值，分類討論求出參數b的值，即得橢圓G的方程．
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，利用兩個向量的數量積公式及橢圓的性質解決具體問題，體現了分類討論的數學思想．