Question

已知M為橢圓上的一點，橢圓的兩個焦點為F₁、F₂，且橢圓的長軸長為10，焦距為6，點I為△MF₁F₂的內心，延長線段MI交線段F₁F₂于N，則

MI

IN

的值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  5

• C．

  4

  3

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：連接IF₁、IF₂，△MF₁N中根據內角平分線定理，得

|MF1|

|NF1|

=

|MI|

|IN|

；同理在△MF₂N中：

|MF2|

|NF2|

=

|MI|

|IN|

，再用橢圓定義和比例的基本性質得

|MI|

|IN|

=

2a

2c

=

5

3

，得到本題答案．

解答：解：連接IF₁、IF₂，
∵I為△MF₁F₂的內心，
∴IF₁平分∠MF₁N，可得

|MF1|

|NF1|

=

|MI|

|IN|

同理可得：

|MF2|

|NF2|

=

|MI|

|IN|

，得

|MI|

|IN|

=

|MF1|

|NF1|

=

|MF2|

|NF2|

．
∴

|MI|

|IN|

=

|MF1|+|MF2|

|NF1|+|NF2|

∵M是橢圓上一點，且橢圓的長軸長為10
∴|MF₁|+|MF₂|=2a=10
而|NF₁|+|NF₂|=2c=6，可得

|MI|

|IN|

=

2a

2c

=

5

3

故選：D

點評：本題給出橢圓焦點三角形的內心，求它的內角平分線MN被內心I分成的兩段的比，著重考查了橢圓的定義與三角形內角平分線定理等知識，屬于基礎題．