Question

一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距（+1）R處有一點光源O，OA與球相切，則球在桌面上的投影——橢圓的離心率為 ．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：根據圓曲線的第一定義，作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，可得直角三角形AOA′，結合已知求出橢圓的a值，再根據橢圓的幾何性質，求出c，即可求出橢圓的離心率．

【解析】
如圖是過圓錐的軸與橢圓長軸AA′的截面，

ED兩點為過點O引圓D的兩條切線與圓D的切點，

∵OA=（+1）R，

故在Rt△OBE中，

OE=R，BE=R，

則tan∠EOB=，

即∠EOB=30°，

故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，

故AA′=2a=OA=（3+）R，即a=，

根據圓錐曲線的定義，

可得球與長軸AA′的切點是橢圓的焦點F，

根據橢圓的幾何性質，AF是焦點到長軸頂點的距離AF=a﹣c=R，

∴c==a，

所求橢圓的離心率e==，

故答案為：