Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圓O：x²+y²=b²，若C上存在點P，使得過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，滿足∠APB=60°，則橢圓C的離心率的取值范圍是

[

3

2

，1)

．

Answer 1

分析：利用O、P、A、B四點共圓的性質及橢圓離心率的概念，綜合分析即可求得橢圓C的離心率的取值范圍．

解答：解：連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓，
∵∠APB=60°，
∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，
∴cos∠AOP=

b

|OP|

=

1

2

，
∴|OP|=

b

1 2

=2b，
∴b＜|OP|≤a，
∴2b≤a，
∴4b²≤a²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，
即

c2

a2

≥

3

4

，
∴

3

2

≤e，又0＜e＜1，
∴

3

2

≤e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是[

3

2

，1）．
故答案為：[

3

2

，1）．

點評：本題考查橢圓的離心率，考查四點共圓的性質及三角函數的概念，考查轉化與方程思想，屬于難題．