Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，由題意知： ，2a+2c=4(+1)

所以a=2，c=2，又=，因此b=2。

故 橢圓的標準方程為

由題意設等軸雙曲線的標準方程為，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點。

所以m=2，因此 雙曲線的標準方程為      ……………4分

（Ⅱ）設A（，），B（），P（），

則=，。

因為點P在雙曲線上，所以。

因此，

即            ……………………8分

（Ⅲ）由于的方程為，將其代入橢圓方程得

由韋達定理得

同理可得.

則  ，又  ，所以  .

故 

因此  存在，使恒成立.

【解析】略