Question

有一種大型商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運回來，每公里的運費A地是B地的兩倍，若A、B兩地相距10公里，顧客選擇A地或B地購買這種商品的運費和價格的總費用較低，那么不同地點的居民應如何選擇購買此商品的地點？

Answer 1

分析：以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，求出由P地到A、B兩地購物總費用，可求P地居民選擇A地或B地購物總費用相等時，點P所在曲線的形狀，進而根據P的位置，即可得出結論．

解答：解：如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，
∵|AB|=10，∴A（-5，0），B（5，0）．
設P（x，y），P到A、B兩地購物的運費分別是2a、a（元/公里）．
當由P地到A、B兩地購物總費用相等時，有：價格+A地運費=價格+B地運費，
得2a

(x+5)2+y2

=a

(x-5)2+y2

，化簡整理得(x+

25

6

)2+y2=

275

36

，
∴（1）當P點在圓上時，居民到A地或B地購物總費用相等．
（2）當P點在上述圓內時，到A地購物合算．
（3）當P點在上述圓外時，到B地購物合算．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生利用數學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．