Question

（2013•遼寧）如圖，拋物線C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），點M（x₀，y₀）在拋物線C₂上，過M作C₁的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O），當x₀=1-

2

時，切線MA的斜率為-

1

2

．
（I）求P的值；
（II）當M在C₂上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）．

Answer 1

分析：（I）利用導數的幾何意義，先表示出切線方程，再由M在拋物線上及在直線上兩個前提下，得到相應的方程，解出p值．
（II）由題意，可先設出A，B兩個端點的坐標及中點的坐標，再由中點坐標公式建立方程，直接求解出中點N的軌跡方程

解答：解：（I）因為拋物線C₁：x²=4y上任意一點（x，y）的切線斜率為y′=

x

2

，且切線MA的斜率為-

1

2

，所以A點的坐標為（-1，

1

4

），故切線MA的方程為y=-

1

2

（x+1）+

1

4

因為點M（1-

2

，y₀）在切線MA及拋物線C₂上，于是
y₀=-

1

2

（2-

2

）+

1

4

=-

3-2 2

4

     ①
y₀=-

(1- 2 )2

2p

=-

3-2 2

2p

          ②
由①②解得p=2
（II）設N（x，y），A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），x₁≠x₂，由N為線段AB中點知x=

x1+x2

2

  ③，y=

y1+y2

2

=

x12+x22

8

    ④
切線MA，MB的方程為y=

x1

2

（x-x₁）+

x12

4

，⑤；y=

x2

2

（x-x₂）+

x22

4

⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交點M（x₀，y₀）的坐標滿足x₀=

x1+x2

2

，y₀=

x1x2

4

因為點M（x₀，y₀）在C₂上，即x₀²=-4y₀，所以x₁x₂=-

x12+x22

6

⑦
由③④⑦得x²=

4

3

y，x≠0
當x₁=x₂時，A，B丙點重合于原點O，A，B中點N為O，坐標滿足x²=

4

3

y
因此中點N的軌跡方程為x²=

4

3

y

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，此類題運算較繁，解答的關鍵是合理引入變量，建立起相應的方程，本題探索性強，屬于能力型題