Question

（2013•遼寧）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求證：二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面PAC⊥平面PBC，只要證明平面PBC經過平面PAC的一條垂線BC即可，利用題目給出的條件借助于線面垂直的判定定理能夠證明BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）因為平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC內過C作兩面的郊縣AB的垂線，然后過垂足再作PB的垂線，連結C和后一個垂足即可得到二面角C-PB-A的平面角，然后在作出的直角三角形中通過解直角三角形即可求得二面角C-PB-A的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
由AB是圓的直徑，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因為BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：過C作CM⊥AB于M，
因為PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB．
過M作MN⊥PB于N，鏈接NC．
由三垂線定理得CN⊥PB．
所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得BC=

3

，CM=

3

2

，BM=

3

2

．
在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得PB=

5

．
因為Rt△BNM∽Rt△BAP，所以

MN

1

=

3 2

5

．
故MN=

3 5

10

．
又在Rt△CNM中，CN=

30

5

．故cos∠CNM=

6

4

．
所以二面角C-PB-A的余弦值為

6

4

．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“尋找垂面，構造垂線”是找二面角的平面角常用的方法，此題是中檔題．