Question

（2013•遼寧二模）風景秀美的鳳凰湖畔有四棵高大的銀杏樹，記做A、B、P、Q，欲測量P、Q兩棵樹和A、P兩棵樹之間的距離，但湖岸部分地方圍有鐵絲網不能靠近，現在可以方便的測得A、B兩點間的距離為AB=100米，如圖，同時也能測量出∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°，則P、Q兩棵樹和A、P兩棵樹之間的距離各為多少？

Answer 1

分析：在三角形PAB中，由內角和定理求出∠APB的度數，由sin∠APB，sin∠ABC，以及AB的長，利用正弦定理求出AP的長即可；在三角形QAB中，由∠ABQ為直角，∠CAB為45度，得到三角形QAB為等腰直角三角形，根據AB求出AQ的長，∠PAQ的度數，利用余弦定理即可求出PQ的長．

解答：解：在△PAB中，∠APB=180°-（75°+60°）=45°，
由正弦定理得：

AP

sin60°

=

100

sin45°

，得到AP=50

6

（米）；
在△QAB中，∠ABQ=90°，∠CAB=45°，AB=100米，
∴AQ=100

2

米，∠PAQ=75°-45°=30°，
由余弦定理得：PQ²=（50

6

）²+（100

2

）²-2×50

6

×100

2

cos30°=5000，
解得：PQ=50

2

，
答：P、Q兩顆樹之間的距離為50

2

米，A、P兩顆樹之間的距離為50

6

米．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．