Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線(xiàn)的方程是.
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若以為斜率的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，再將焦點(diǎn)是，一條漸近線(xiàn)的方程是代入解出相關(guān)參數(shù)，即得雙曲線(xiàn)的方程為；（2）先將直線(xiàn)方程設(shè)出，再與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到的方程根的判別式.再由根與系數(shù)的關(guān)系得出中點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，從而得到線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程.將其與與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)找出，由與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為得到，代入根的判別式中可得到關(guān)于的不等式.,解得或，從而得到的取值范圍.
試題解析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，
由題設(shè)得解得，   所以雙曲線(xiàn)的方程為；
（2）解：設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組，將①式代入②式，得，
整理得，
此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且，
整理得......③
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足
，，
從而線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，
此直線(xiàn)與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
由題設(shè)可得，整理得，，
將上式代入③式得，
整理得，，解得或，
所以的取值范圍是.