Question

已知數列a_n滿足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）猜想a_n的通項公式，并給出證明．

Answer 1

解：（1）由4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9得，
求得（3分）
（2）猜想（5分）
證明：①當n=1時，猜想成立．（6分）
②設當n=k時（k∈N+）時，猜想成立，即，（7分）
則當n=k+1時，有，
所以當n=k+1時猜想也成立（9分）
③綜合①②，猜想對任何n∈N+都成立．（10分）
分析：（1）由題設條件得，由此能夠求出a₁，a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想，然后用數學歸納法進行證明．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數學歸納法的證明過程．