Question

已知數列a_n滿足a₁=1，n≥2時，

an

an-1

=

2-3an

an-1+2

．
（1）求證：數列{

1

an

}為等差數列；
（2）求{

3n

an

}的前n項和．

Answer 1

分析：要證明數列{

1

an

}為等差數列，只要證明可得

1

an

-

1

an-1

=2，由已知

an

an-1

=

2-3an

an-1+2

 整理可得，
a_n-1-a_n=2a_n-1a_n，即

1

an

-

1

an-1

=2，從而可證
（2）由（1）可求a_n，從而可得

3n

an

=(2n-1)3n，利用錯位相減法求數列的和即可

解答：解：（1）證明：由已知

an

an-1

=

2-3an

an-1+2

．
整理可得a_n-1-a_n=2a_n-1a_n（n≥2），
同時除以a_na_n-1可得

1

an

-

1

an-1

=2，
所以{

1

an

}為首項為

1

a1

=1，公差為2的等差數列．
（2）解：由（1）可知，

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
所以

3n

an

=(2n-1)3n，
S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ①
3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②得-2S_n=3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
所以得S_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3

點評：本題主要考查了利用定義及構造法構造等差數列的形式，還考查了數列求和中的錯位相減，錯位相減是數列求和的考查重點及熱點，但也是數列求和方法中的一個難點．